Preliminari algebrici
Sistemi numerici .
Insiemi numerici: numeri naturali ($\mathbb{N}$), numeri interi ($\mathbb{Z}$),
numeri razionali ($\mathbb{Q}$), numeri reali ($\mathbb{R}$), numeri irrazionali.
Irrazionalità di $ \sqrt{2} $ . Gruppi e gruppi abeliani.
Elementi invertibili e unicità degli elementi inversi. Campi.
Relazioni d'ordine parziali e relazioni d'ordine totali.
Campi ordinati. Intervalli.
Insiemi limitati, limitati superiormente, limitati inferiormente.
Massimi, minimi, maggioranti, minoranti, estremi superiori, estremi inferiori.
Assioma di Dedekind (assioma di completezza, assioma di continuità):
proprietà dell'estremo superiore (inferiore).
Caratterizzazione del campo reale.
Esistenza delle radici $n$-esime aritmetiche in $\mathbb{R}$. Potenze ed esponenziali.
Sommatorie. Proprietà di linearità per le sommatorie.
Somme di Gauss. Somme geometriche.
Principio di induzione.
Polinomi a coefficienti reali .
Operazioni tra polinomi (somma e prodotto).
Lo spazio $\mathbb{R}[x]$ dei polinomi nella indeterminata $x$ a coefficienti reali.
Numeri fattoriali. Coefficienti binomiali e loro proprietà.
Formula di Newton (potenza del binomio).
Numeri complessi .
Forma algebrica. Operazioni: somma e prodotto.
Parte reale e parte immaginaria, coniugato e modulo e loro proprietà.
Invertibilità di un numero complesso non nullo . Inversi. Quozienti.
Struttura di campo di $\mathbb{C}$.
Disuguaglianza triangolare .
Piano di Argand-Gauss e rappresentazione geometrica di un numero complesso.
Circonferenze e dischi nel piano di Gauss.
Rappresentazione di sottoinsiemi nel piano di Gauss.
Risoluzione di equazioni nel campo complesso mediante la forma algebrica.
Forma trigonometrica di un numero complesso.
Prodotto e quoziente di due numeri complessi in forma trigonometrica .
Formula di De Moivre .
Trasformazioni geometriche nel piano di Gauss:
rotazioni (interpretazione geometrica del prodotto) ,
struttura di gruppo delle rotazioni del piano,
riflessioni , simmetrie, omotetie, traslazioni.
Movimenti rigidi (isometrie).
Trasformazioni di sottoinsiemi di $\mathbb{C}$.
Radici $n$-esime di un numero complesso .
Forma esponenziale di un numero complesso.
Formule di Eulero per il seno e il coseno .
Esponenziale nel campo complesso.
Modulo e argomento dell'esponenziale.
Polinomi a coefficienti complessi .
Radici di un polinomio di secondo grado a coefficienti complessi .
Teorema fondamentale dell'algebra. Fattorizzazione di un polinomio a coefficienti complessi.
Radici complesse di un polinomio a coefficienti reali .
Fattorizzazione di un polinomio a coefficienti reali .
Radici di un polinomio a coefficienti reali di grado dispari.
Funzioni .
Definizione di funzione $ f : X \rightarrow Y $ tra due insiemi $X$ e $Y$.
Dominio, codominio, immagini, controimmagini. Immagine di una funzione.
Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche e loro caratterizzazione.
Composizione di funzioni. Funzione identità $ 1_X : X \rightarrow X $.
Funzioni invertibili e funzioni inverse.
Invertibilità e biunivocità.
Funzioni reali ($ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $).
Operazioni tra funzioni reali: somma, prodotto, prodotto per uno scalare, combinazioni lineari.
Funzioni pari e dispari.
Teorema di decomposizione di una funzione nella somma di una funzione pari e di una funzione dispari .
Coseno e seno iperbolici. Parametrizzazione dell'ellisse e dell'iperbole.
Grafico di una funzione. Grafico della funzione inversa.
Funzioni crescenti e decrescenti, strettamente crescenti e strettamente decrescenti.
Funzioni monotone e strettamente monotone.
Monotonia della funzione inversa. Stretta monotonia e iniettività.
Composizione di funzioni monotone.
Funzioni limitate superiormente, limitate inferiormente, limitate.
Funzioni elementari e loro proprietà
(potenze, polinomi, funzioni razionali e irrazionali, esponenziali, logaritmi, seno, coseno, tangente,
arcoseno, arcocoseno, arcotangente, seno iperbolico, coseno iperbolico, tangente iperbolica).
Limiti e continuità
Successioni numeriche .
Definizione di successione reale.
Successioni limitate, limitate superiormente, limitate inferiormente.
Successioni convergenti. Unicità del limite .
Limitatezza delle successioni convergenti .
Prodotto di una successione infinitesima per una successione limitata.
Successioni divergenti. Successioni regolari e irregolari.
Successioni crescenti, decrescenti, strettamente crescenti, strettamente decrescenti.
Successioni monotone e strettamente monotone.
Teorema delle successioni monotone .
Le successioni $n^\alpha$ e $q^n$.
Rappresentazione decimale dei numeri reali. Il numero $\mathrm{e}$.
Proprietà delle successioni convergenti. Teoremi sui limiti (somme, prodotti, quozienti).
Teorema di monotonia . Teorema della permanenza del segno . Teorema del confronto .
Successioni divergenti. Forme di indeterminazione.
Successioni infinitesime e infinite.
Gerarchia degli infiniti (logaritmi, potenze, esponenziali).
Equivalenza asintotica. Relazioni di equivalenza.
La relazione di equivalenza asintotica come relazione di equivalenza .
Proprietà dell'equivalenza asintotica relativamente al prodotto e al quoziente di successioni .
Formula di Stirling.
Relazione di o piccolo. Equivalenza asintotica e relazione di o piccolo.
Sottosuccessioni. Sottosuccessioni di una successione regolare .
Proprietà delle sottosuccessioni di indice pari e dispari .
Funzioni convergenti e divergenti .
Dominio naturale di una funzione. Intorni e intorni simmetrici. Punti di accumulazione.
Funzioni convergenti: definizione metrica di limite, definizione mediante intorni.
Definizione successionale di limite.
Limite destro e limite sinistro.
Equivalenza tra limite e limiti destro e sinistro .
Proprietà delle funzioni convergenti: unicità del limite,
limiti di somme, prodotti, quozienti, teorema di monotonia,
teorema della permanenza del segno, teorema del confronto.
Funzioni divergenti. Limiti all'infinito. Forme d'indeterminazione.
Funzioni infinitesime e funzioni infinite.
Confronto tra infiniti e infinitesimi.
Equivalenza asintotica e sue proprietà.
Ordine di infinito e di infinitesimo. Parte principale.
Relazione di o piccolo e sue proprietà.
Equivalenze asintotiche e relazione di o piccolo.
Asintoti: orizzontali, verticali, obliqui. Equazione di un asintoto obliquo.
Funzioni continue .
Continuità di una funzione in un punto e su un intervallo.
Grafico di una funzione continua.
Continuità da destra e da sinistra.
Equivalenza della continuità e continuità da destra e da sinistra.
Funzione di Dirichlet.
Definizione successionale di continuità. Limiti di successioni e funzioni continue.
Proprietà elementari delle funzioni continue:
continuità della somma, del prodotto, del quoziente di funzioni continue,
teorema di monotonia, teorema della permanenza del segno, teorema del confronto.
Continuità delle funzioni elementari: polinomi, funzioni razionali, esponenziali,
logaritmi, potenze, funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente, cotangente).
Composizione di funzioni continue .
Stretta monotonicità di una funzione continua invertibile.
Continuità della funzione inversa di una funzione continua invertibile.
Continuità delle funzioni trigonometriche inverse (arcoseno, arcocoseno, arcotangente).
Limiti notevoli.
Discontinuità: eliminabili, di prima specie, di seconda specie.
Estensione continua di una funzione.
Teorema degli zeri .
Teorema di Weierstrass.
Limitatezza di una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato.
Teorema dei valori intermedi .
Immagine di un intervallo chiuso e limitato mediante una funzione continua .
Immagine di un intervallo mediante una funzione continua.
Calcolo differenziale
Derivabilità e derivate .
Esempi introduttivi: retta tangente al grafico di una funzione, velocità istantanea.
Differenziabilità in un punto e su un intervallo.
Derivabilità in un punto e su un intervallo.
Equivalenza tra differenziabilità e derivabilità .
Derivabilità da destra e da sinistra. Derivate destra e sinistra.
Equivalenza tra derivabilità e derivabilità da destra e da sinistra.
Funzioni derivate.
Continuità di una funzione derivabile .
Derivate di alcune funzioni elementari
($\mathrm{e}^x$, $\ln x $, $\sin x $, $\cos x $, $x^n$).
Proprietà algebriche delle funzioni derivabili e regole di calcolo:
derivata di una combinazione lineare, del prodotto, del reciproco, del quoziente .
Derivata della funzione $\mathrm{tg}\, x $.
Derivazione di funzioni composte .
Derivata della funzione $x^{\alpha}$, $\alpha\in\mathbb{R}$.
Derivazione della funzione inversa .
Derivata delle funzioni inverse trigonometriche: $\arcsin x$, $\arccos x$, $\mathrm{artg}\, x$.
Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale.
Proprietà delle funzioni derivabili .
Massimi e minimi assoluti, massimi e minimi locali (o relativi).
Estremi locali. Punti stazionari. Teorema di Fermat .
Teorema di Rolle .
Teorema del valor medio di Lagrange .
Teorema di monotonia .
Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla .
Caratterizzazione delle funzioni con uguale derivata .
Teorema di invertibilità locale .
Teorema degli incrementi finiti di Cauchy .
Primo teorema di De l'Hôpital .
Secondo teorema di De l'Hôpital.
Gerarchia degli infiniti.
Derivate successive. Formula di Leibniz per la derivata n-esima del prodotto di due funzioni.
Funzioni di classe $\mathcal{C}^0$, $\mathcal{C}^1$,..., $\mathcal{C}^k$
e di classe $\mathcal{C}^\infty$ (lisce).
Massimi e minimi di funzioni derivabili. Ricerca dei massimi e minimi assoluti su un intervallo.
Concavità di una funzione. Punti di flesso.
Concavità di funzioni derivabili .
Studio di funzioni.
Approssimazione polinomiale .
Polinomio di Taylor (MacLaurin).
Esistenza e unicità del polinomio di Taylor (MacLaurin) .
Derivata prima del polinomio di Taylor (MacLaurin) .
Formula di Taylor (MacLaurin) con resto secondo Peano .
Polinomio di MacLaurin di alcune funzioni elementari
($\mathrm{e}^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\ln(1+x)$, $\ln\frac{1}{1-x}$, $(1+x)^\alpha$,
$\frac{1}{1+x}$, $\frac{1}{1-x}$, $\sqrt{1+x}$, $\sqrt{1-x}$, $\sqrt[3]{1+x}$, $\sqrt[3]{1-x}$,
$\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$).
Coefficienti binomiali generalizzati.
Calcolo dei limiti mediante le formule di MacLaurin e di Taylor.
Massimi e minimi di funzioni derivabili (caso generale) .
Concavità di funzioni derivabili (caso generale) .
Funzioni con polinomio di MacLaurin identicamente nullo.
Differenziale.
Calcolo integrale
Integrali definiti e indefiniti .
Esempio introduttivo: area del segmento parabolico (teorema di Archimede).
Somme di Cauchy-Riemann. Funzioni integrabili e definizione dell'integrale definito.
Interpretazione geometrica e proprietà elementari dell'integrale definito:
linearità, additività rispetto all'intervallo di integrazione,
monotonia, disuguaglianza del valore assoluto.
Teorema della media . Teorema della media generalizzato .
Primitive di una funzione e loro proprietà.
Integrali indefiniti.
Primo teorema fondamentale del calcolo .
Funzioni integrali. Secondo teorema fondamentale del calcolo .
Primitiva di una funzione continua.
Suriettività dell'operatore $D:\mathcal{C}^1(I)\rightarrow\mathcal{C}(I)$ di derivazione.
Secondo teorema fondamentale del calcolo (generalizzato):
derivabilità e derivata di una funzione integrale
del tipo $ F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\, \mathrm{d} t $ .
Formula di Taylor di una funzione integrale.
Formula di MacLaurin dell'arcotangente e dell'arcotangente iperbolica.
Formula di MacLaurin dell'arcoseno.
Curve rettificabili e lunghezza del grafico di una funzione continua.
Lunghezza del grafico di una funzione di classe $\mathcal{C}^1$ .
Integrali delle funzioni elementari, integrali immediati, integrali di funzioni razionali.
Metodi di integrazione: integrazione per parti ,
integrazione per sostituzione .
Stime asintotiche di alcune somme numeriche.
Stima asintotica dei numeri armonici .
Costante di Eulero-Mascheroni .
Integrali impropri .
Esempi introduttivi. Integrazione di funzioni illimitate
del tipo $ f : [a,b) \rightarrow \mathbb{R} $ o $ f : (a,b] \rightarrow \mathbb{R} $.
Integrali convergenti e divergenti. Integrali assolutamente convergenti.
Regolarità degli integrali di funzioni non negative (non positive) .
Integrabilità delle funzioni $\frac{1}{(b-x)^\alpha}$ sull'intervallo $[a,b)$ .
Integrabilità delle funzioni $\frac{1}{(x-a)^\alpha}$ sull'intervallo $(a,b]$.
Criteri di integrabilità: criterio del confronto ,
criterio del confronto asintotico , criterio della convergenza assoluta .
Integrazione su intervalli illimitati.
Integrali convergenti e divergenti. Integrali assolutamente convergenti.
Condizione necessaria per l'integrabilità su un intervallo $ [a,+\infty) $.
Integrabilità delle funzioni $ \frac{1}{x^\alpha} $ sull'intervallo $ [1,+\infty) $ .
Regolarità degli integrali di funzioni non negative (non positive).
Criteri di integrabilità: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico,
criterio della convergenza assoluta.
Integrali impropri con più punti singolari:
integrabilità su intervalli del tipo $ (a,b) $, $ (-\infty,+\infty) $, $ [a,c) \cup (c,b] $.
Funzioni integrali .
Studio di una funzione integrale. Funzione gaussiana e funzione degli errori.
Esistenza di asintoti orizzontali. Esistenza di asintoti obliqui.
Secondo teorema fondamentale del calcolo (generalizzato):
dominio e continuità di una funzione integrale generalizzata.
Serie
Definizione ed esempi .
Successione delle somme parziali. Serie.
Carattere di una serie: serie convergenti, divergenti, indeterminate.
Esempi: serie di Mengoli: $ \sum_{n\geq1} \frac{1}{n(n+1)} $,
serie armonica: $ \sum_{n\geq1} \frac{1}{n} $,
serie geometrica: $ \sum_{n\geq0} q^n $,
serie di Grandi: $ \sum_{n\geq0} (-1)^n $,
serie armoniche generalizzate: $ \sum_{n\geq1} \frac{1}{n^p} $,
serie di Eulero: $ \sum_{n\geq1} \frac{1}{n^2} $,
rappresentazone della costante di Eulero-Mascheroni:
$ \sum_{n\geq1} ( \frac{1}{n}-\log(1+\frac{1}{n})) = \gamma $,
rappresentazone del numero $\mathrm{e}$:
$ \sum_{n\geq0} \frac{1}{n!} = \mathrm{e} $.
Serie telescopiche.
Prime proprietà delle serie .
Condizione necessaria per la convergenza di una serie .
Proprietà di linearità delle serie convergenti .
Resto di una serie. Carattere del resto di una serie.
Regolarità delle serie a termini positivi o non negativi .
Criteri di convergenza .
Criterio integrale.
Carattere delle serie armoniche generalizzate.
Criterio del confronto .
Criterio del confronto asintotico .
Criterio del rapporto .
Criterio della radice .
Relazione tra il criterio del rapporto e il criterio del confronto.
Criterio di condensazione. Serie di Abel.
Serie a termini di segno variabile.
Convergenza assoluta.
Criterio della convergenza assoluta .
Serie a segni alterni. Criterio di Leibniz .
Geometria analitica
Vettori .
Sistemi di riferimento cartesiani ortogonali monometrici e lo spazio $ \mathbb{R}^n $.
Punti e vettori nello spazio $ \mathbb{R}^n $.
Operazioni algebriche: somma di vettori e prodotto di uno scalare per un vettore.
Struttura di spazio vettoriale di $ \mathbb{R}^n $.
Base naturale di $ \mathbb{R}^3 $. Basi di $ \mathbb{R}^n $.
Vettori linearmente dipendenti e indipendenti.
Prodotto scalare (standard) in $ \mathbb{R}^n $.
Proprietà del prodotto scalare: bilinearità, simmetria, positività.
Spazi vettoriali euclidei.
Norma (lunghezza) di un vettore. Versori.
Proprietà della norma: positività e annullamento, omogeneità, disuguaglianza triangolare .
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz .
Distanza tra vettori. Proprietà della distanza.
Angolo tra vettori. Teorema di Carnot. Ortogonalità.
Proiezione ortogonale di un vettore su una retta .
Determinanti di ordine 2 e 3. Prodotto vettoriale.
Proprietà elementari del prodotto vettoriale.
Ortogonalità tra i vettori $ \mathbf{x} $ e $ \mathbf{y} $
e il prodotto vettoriale $ \mathbf{x} \wedge \mathbf{y} $ .
Norma del prodotto vettoriale (identità di Lagrange).
Area di un parallelogrammo .
Annullamento del prodotto vettoriale .
Prodotto vettoriale di due versori ortogonali .
Prodotto misto. Proprietà elementari del prodotto misto. Volume di un parallelepipedo.
Basi orientate positivamente (destrorse) e orientate negativamente (sinistrorse).
L'insieme $ \{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{x} \wedge \mathbf{y} \}$
forma una base orientata positivamente .
Caratterizzazione geometrica del prodotto vettoriale.
Rette e piani nello spazio ordinario .
Equazione vettoriale ed equazioni parametriche della retta . Parametri direttori.
Equazione cartesiana del piano . Equazioni cartesiane della retta.
Parametri direttori di una retta rappresentata da equazioni cartesiane .
Condizioni di parallelismo e di ortogonalità. Posizioni reciproche. Rette sghembe.
Distanza tra due punti. Distanza tra due insiemi arbitrari.
Distanza di un punto da una retta e da un piano.
Formula della distanza di un punto da un piano .
Proiezione ortogonale di un punto su una retta e su un piano.
Simmetrico di un punto rispetto a una retta e a un piano.
Fasci propri e impropri di piani.
Equazione cartesiana di un fascio (proprio) di piani .
Esistenza e unicità della retta incidente e ortogonale a due rette sghembe.
Distanza tra due rette sghembe.
Sfera. Equazione cartesiana della sfera. Centro e raggio della sfera.
Posizioni reciproche tra una sfera e un piano. Piano tangente a una sfera.
Circonferenza nello spazio. Caratterizzazione delle circonferenze come sezioni piane di una sfera.
Equazioni cartesiane di una circonferenza.
Centro e raggio di una circonferenza nello spazio.
Curve e integrali di linea .
Funzioni vettoriali. Funzioni componenti.
Derivata di una funzione vettoriale.
Curve parametriche. Sostegno di una curva. Curve piane e gobbe. Curve semplici.
Curve regolari. Vettore tangente e vettore velocità. Retta tangente.
Lunghezza di una curva regolare.
Parametro arco (parametro naturale).
Riparametrizzazione mediante il parametro arco.
Parametrizzazioni equivalenti.
Integrali di linea (di prima specie).
Teorema della media per gli integrali di linea .
Indipendenza degli integrali di linea dalla parametrizzazione della curva.
Densità lineare di massa. Massa di una curva. Coordinate del baricentro di una curva.
Momento di inerzia di una curva rispetto a una retta generica e rispetto agli assi $x$, $y$ e $z$.
Curve biregolari.
Terna intrinseca: versore tangente, versore normale, versore binormale.
Piano osculatore, piano normale, piano rettificante.
N.B.
I teoremi sottolineati sono i teoremi che si devono sapere con la dimostrazione.
Ultimo aggiornamento : 21 Dicembre 2023