Preliminari algebrici
Sistemi numerici Irrazionalità di $ \sqrt{2} $ . Gruppi e gruppi abeliani.
Elementi invertibili e unicità degli elementi inversi. Campi.
Relazioni d'ordine parziali e relazioni d'ordine totali.
Campi ordinati. Intervalli.
Insiemi limitati, limitati superiormente, limitati inferiormente.
Massimi, minimi, maggioranti, minoranti, estremi superiori, estremi inferiori.
Assioma di Dedekind (assioma di completezza, assioma di continuità):
proprietà dell'estremo superiore (inferiore).
Caratterizzazione del campo reale.
Esistenza delle radici $n$-esime aritmetiche in $\mathbb{R}$. Potenze ed esponenziali.
Sommatorie. Proprietà di linearità per le sommatorie.
Somme di Gauss. Somme geometriche.
Principio di induzione.
Polinomi a coefficienti reali
Numeri complessi Invertibilità di un numero complesso non nullo . Inversi. Quozienti.
Struttura di campo di $\mathbb{C}$.
Disuguaglianza triangolare .
Piano di Argand-Gauss e rappresentazione geometrica di un numero complesso.
Circonferenze e dischi nel piano di Gauss.
Rappresentazione di sottoinsiemi nel piano di Gauss.
Risoluzione di equazioni nel campo complesso mediante la forma algebrica.
Forma trigonometrica di un numero complesso.
Prodotto e quoziente di due numeri complessi in forma trigonometrica .
Formula di De Moivre .
Trasformazioni geometriche nel piano di Gauss:
rotazioni (interpretazione geometrica del prodotto) ,
struttura di gruppo delle rotazioni del piano,
riflessioni , simmetrie, omotetie, traslazioni.
Movimenti rigidi (isometrie).
Trasformazioni di sottoinsiemi di $\mathbb{C}$.
Radici $n$-esime di un numero complesso .
Forma esponenziale di un numero complesso.
Formule di Eulero per il seno e il coseno .
Esponenziale nel campo complesso.
Modulo e argomento dell'esponenziale.
Polinomi a coefficienti complessi Radici di un polinomio di secondo grado a coefficienti complessi .
Teorema fondamentale dell'algebra. Fattorizzazione di un polinomio a coefficienti complessi.
Radici complesse di un polinomio a coefficienti reali .
Fattorizzazione di un polinomio a coefficienti reali .
Radici di un polinomio a coefficienti reali di grado dispari.
Funzioni Teorema di decomposizione di una funzione nella somma di una funzione pari e di una funzione dispari .
Coseno e seno iperbolici. Parametrizzazione dell'ellisse e dell'iperbole.
Grafico di una funzione. Grafico della funzione inversa.
Funzioni crescenti e decrescenti, strettamente crescenti e strettamente decrescenti.
Funzioni monotone e strettamente monotone.
Monotonia della funzione inversa. Stretta monotonia e iniettività.
Composizione di funzioni monotone.
Funzioni limitate superiormente, limitate inferiormente, limitate.
Funzioni elementari e loro proprietà
(potenze, polinomi, funzioni razionali e irrazionali, esponenziali, logaritmi, seno, coseno, tangente,
arcoseno, arcocoseno, arcotangente, seno iperbolico, coseno iperbolico, tangente iperbolica).
Limiti e continuità
Successioni numeriche Unicità del limite .
Limitatezza delle successioni convergenti .
Prodotto di una successione infinitesima per una successione limitata.
Successioni divergenti. Successioni regolari e irregolari.
Successioni crescenti, decrescenti, strettamente crescenti, strettamente decrescenti.
Successioni monotone e strettamente monotone.
Teorema delle successioni monotone .
Le successioni $n^\alpha$ e $q^n$.
Rappresentazione decimale dei numeri reali. Il numero $\mathrm{e}$.
Proprietà delle successioni convergenti. Teoremi sui limiti (somme, prodotti, quozienti).
Teorema di monotonia . Teorema della permanenza del segno . Teorema del confronto .
Successioni divergenti. Forme di indeterminazione.
Successioni infinitesime e infinite.
Gerarchia degli infiniti (logaritmi, potenze, esponenziali).
Equivalenza asintotica. Relazioni di equivalenza.
La relazione di equivalenza asintotica come relazione di equivalenza .
Proprietà dell'equivalenza asintotica relativamente al prodotto e al quoziente di successioni .
Formula di Stirling.
Relazione di o piccolo. Equivalenza asintotica e relazione di o piccolo.
Sottosuccessioni. Sottosuccessioni di una successione regolare .
Proprietà delle sottosuccessioni di indice pari e dispari .
Funzioni convergenti e divergenti Equivalenza tra limite e limiti destro e sinistro .
Proprietà delle funzioni convergenti: unicità del limite,
limiti di somme, prodotti, quozienti, teorema di monotonia,
teorema della permanenza del segno, teorema del confronto.
Funzioni divergenti. Limiti all'infinito. Forme d'indeterminazione.
Funzioni infinitesime e funzioni infinite.
Confronto tra infiniti e infinitesimi.
Equivalenza asintotica e sue proprietà.
Ordine di infinito e di infinitesimo. Parte principale.
Relazione di o piccolo e sue proprietà.
Equivalenze asintotiche e relazione di o piccolo.
Asintoti: orizzontali, verticali, obliqui. Equazione di un asintoto obliquo.
Funzioni continue Composizione di funzioni continue .
Stretta monotonicità di una funzione continua invertibile.
Continuità della funzione inversa di una funzione continua invertibile.
Continuità delle funzioni trigonometriche inverse (arcoseno, arcocoseno, arcotangente).
Limiti notevoli.
Discontinuità: eliminabili, di prima specie, di seconda specie.
Estensione continua di una funzione.
Teorema degli zeri .
Teorema di Weierstrass.
Limitatezza di una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato.
Teorema dei valori intermedi .
Immagine di un intervallo chiuso e limitato mediante una funzione continua .
Immagine di un intervallo mediante una funzione continua.
Calcolo differenziale
Derivabilità e derivate Equivalenza tra differenziabilità e derivabilità .
Derivabilità da destra e da sinistra. Derivate destra e sinistra.
Equivalenza tra derivabilità e derivabilità da destra e da sinistra.
Funzioni derivate.
Continuità di una funzione derivabile .
Derivate di alcune funzioni elementari
($\mathrm{e}^x$, $\ln x $, $\sin x $, $\cos x $, $x^n$).
Proprietà algebriche delle funzioni derivabili e regole di calcolo:
derivata di una combinazione lineare, del prodotto, del reciproco, del quoziente .
Derivata della funzione $\mathrm{tg}\, x $.
Derivazione di funzioni composte .
Derivata della funzione $x^{\alpha}$, $\alpha\in\mathbb{R}$.
Derivazione della funzione inversa .
Derivata delle funzioni inverse trigonometriche: $\arcsin x$, $\arccos x$, $\mathrm{artg}\, x$.
Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale.
Proprietà delle funzioni derivabili Teorema di Fermat .
Teorema di Rolle .
Teorema del valor medio di Lagrange .
Teorema di monotonia .
Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla .
Caratterizzazione delle funzioni con uguale derivata .
Teorema di invertibilità locale .
Teorema degli incrementi finiti di Cauchy .
Primo teorema di De l'Hôpital .
Secondo teorema di De l'Hôpital.
Gerarchia degli infiniti.
Derivate successive. Formula di Leibniz per la derivata n-esima del prodotto di due funzioni.
Funzioni di classe $\mathcal{C}^0$, $\mathcal{C}^1$,..., $\mathcal{C}^k$
e di classe $\mathcal{C}^\infty$ (lisce).
Massimi e minimi di funzioni derivabili. Ricerca dei massimi e minimi assoluti su un intervallo.
Concavità di una funzione. Punti di flesso.
Concavità di funzioni derivabili .
Studio di funzioni.
Approssimazione polinomiale Esistenza e unicità del polinomio di Taylor (MacLaurin) .
Derivata prima del polinomio di Taylor (MacLaurin) .
Formula di Taylor (MacLaurin) con resto secondo Peano .
Polinomio di MacLaurin di alcune funzioni elementari
($\mathrm{e}^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\ln(1+x)$, $\ln\frac{1}{1-x}$, $(1+x)^\alpha$,
$\frac{1}{1+x}$, $\frac{1}{1-x}$, $\sqrt{1+x}$, $\sqrt{1-x}$, $\sqrt[3]{1+x}$, $\sqrt[3]{1-x}$,
$\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$).
Coefficienti binomiali generalizzati.
Calcolo dei limiti mediante le formule di MacLaurin e di Taylor.
Massimi e minimi di funzioni derivabili (caso generale) .
Concavità di funzioni derivabili (caso generale) .
Funzioni con polinomio di MacLaurin identicamente nullo.
Differenziale.
Calcolo integrale
Integrali definiti e indefiniti Teorema della media . Teorema della media generalizzato .
Primitive di una funzione e loro proprietà.
Integrali indefiniti.
Primo teorema fondamentale del calcolo .
Funzioni integrali. Secondo teorema fondamentale del calcolo .
Primitiva di una funzione continua.
Suriettività dell'operatore $D:\mathcal{C}^1(I)\rightarrow\mathcal{C}(I)$ di derivazione.
Secondo teorema fondamentale del calcolo (generalizzato):
derivabilità e derivata di una funzione integrale
del tipo $ F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\, \mathrm{d} t $ .
Formula di Taylor di una funzione integrale.
Formula di MacLaurin dell'arcotangente e dell'arcotangente iperbolica.
Formula di MacLaurin dell'arcoseno.
Curve rettificabili e lunghezza del grafico di una funzione continua.
Lunghezza del grafico di una funzione di classe $\mathcal{C}^1$ .
Integrali delle funzioni elementari, integrali immediati, integrali di funzioni razionali.
Metodi di integrazione: integrazione per parti ,
integrazione per sostituzione .
Stime asintotiche di alcune somme numeriche.
Stima asintotica dei numeri armonici .
Costante di Eulero-Mascheroni .
Integrali impropri Regolarità degli integrali di funzioni non negative (non positive) .
Integrabilità delle funzioni $\frac{1}{(b-x)^\alpha}$ sull'intervallo $[a,b)$ .
Integrabilità delle funzioni $\frac{1}{(x-a)^\alpha}$ sull'intervallo $(a,b]$.
Criteri di integrabilità: criterio del confronto ,
criterio del confronto asintotico , criterio della convergenza assoluta .
Integrazione su intervalli illimitati.
Integrali convergenti e divergenti. Integrali assolutamente convergenti.
Condizione necessaria per l'integrabilità su un intervallo $ [a,+\infty) $.
Integrabilità delle funzioni $ \frac{1}{x^\alpha} $ sull'intervallo $ [1,+\infty) $ .
Regolarità degli integrali di funzioni non negative (non positive).
Criteri di integrabilità: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico,
criterio della convergenza assoluta.
Integrali impropri con più punti singolari:
integrabilità su intervalli del tipo $ (a,b) $, $ (-\infty,+\infty) $, $ [a,c) \cup (c,b] $.
Funzioni integrali
Serie
Definizione ed esempi
Prime proprietà delle serie Condizione necessaria per la convergenza di una serie .
Proprietà di linearità delle serie convergenti .
Resto di una serie. Carattere del resto di una serie.
Regolarità delle serie a termini positivi o non negativi .
Criteri di convergenza Criterio del confronto .
Criterio del confronto asintotico .
Criterio del rapporto .
Criterio della radice .
Relazione tra il criterio del rapporto e il criterio del confronto.
Criterio di condensazione. Serie di Abel.
Serie a termini di segno variabile.
Convergenza assoluta.
Criterio della convergenza assoluta .
Serie a segni alterni. Criterio di Leibniz .
Geometria analitica
Vettori disuguaglianza triangolare .
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz .
Distanza tra vettori. Proprietà della distanza.
Angolo tra vettori. Teorema di Carnot. Ortogonalità.
Proiezione ortogonale di un vettore su una retta .
Determinanti di ordine 2 e 3. Prodotto vettoriale.
Proprietà elementari del prodotto vettoriale.
Ortogonalità tra i vettori $ \mathbf{x} $ e $ \mathbf{y} $
e il prodotto vettoriale $ \mathbf{x} \wedge \mathbf{y} $ .
Norma del prodotto vettoriale (identità di Lagrange).
Area di un parallelogrammo .
Annullamento del prodotto vettoriale .
Prodotto vettoriale di due versori ortogonali .
Prodotto misto. Proprietà elementari del prodotto misto. Volume di un parallelepipedo.
Basi orientate positivamente (destrorse) e orientate negativamente (sinistrorse).
L'insieme $ \{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{x} \wedge \mathbf{y} \}$
forma una base orientata positivamente .
Caratterizzazione geometrica del prodotto vettoriale.
Rette e piani nello spazio ordinario Equazione vettoriale ed equazioni parametriche della retta . Parametri direttori.
Equazione cartesiana del piano . Equazioni cartesiane della retta.
Parametri direttori di una retta rappresentata da equazioni cartesiane .
Condizioni di parallelismo e di ortogonalità. Posizioni reciproche. Rette sghembe.
Distanza tra due punti. Distanza tra due insiemi arbitrari.
Distanza di un punto da una retta e da un piano.
Formula della distanza di un punto da un piano .
Proiezione ortogonale di un punto su una retta e su un piano.
Simmetrico di un punto rispetto a una retta e a un piano.
Fasci propri e impropri di piani.
Equazione cartesiana di un fascio (proprio) di piani .
Esistenza e unicità della retta incidente e ortogonale a due rette sghembe.
Distanza tra due rette sghembe.
Sfera. Equazione cartesiana della sfera. Centro e raggio della sfera.
Posizioni reciproche tra una sfera e un piano. Piano tangente a una sfera.
Circonferenza nello spazio. Caratterizzazione delle circonferenze come sezioni piane di una sfera.
Equazioni cartesiane di una circonferenza.
Centro e raggio di una circonferenza nello spazio.
Curve e integrali di linea . Teorema della media per gli integrali di linea .
Indipendenza degli integrali di linea dalla parametrizzazione della curva.
Densità lineare di massa. Massa di una curva. Coordinate del baricentro di una curva.
Momento di inerzia di una curva rispetto a una retta generica e rispetto agli assi $x$, $y$ e $z$.
Curve biregolari.
Terna intrinseca: versore tangente, versore normale, versore binormale.
Piano osculatore, piano normale, piano rettificante.
N.B.
I teoremi sottolineati sono i teoremi che si devono sapere con la dimostrazione.
Ultimo aggiornamento : 21 Dicembre 2023
