Limiti e continuità. Funzioni di più variabili. Dominio naturale. Grafico e curve di livello. Dischi (intorni circolari). Punti interni, esterni, di frontiera di un insieme $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$. Insiemi aperti, insiemi chiusi e bordo. Punti di accumulazione e punti isolati. Insiemi limitati e illimitati. Limiti. Proprietà elementari dei limiti. Dipendenza dal modo di avvicinamento. Teorema del confronto. Metodo delle coordinate polari per il calcolo di limiti di funzioni di due variabili. Funzioni continue. Massimi e minimi relativi e assoluti. Teorema di Weierstrass.

Calcolo differenziale. Derivabilità e derivate parziali. Gradiente. Derivate direzionali. Piano tangente. Differenziabilità. Continuità di una funzione differenziabile. Formula del gradiente. Direzioni di massimo e di minimo accrescimento. Derivata di funzioni composte (funzione vettoriale composta con funzione a più variabili). Ortogonalità del gradiente alle curve di livello. Funzioni di classe $\mathcal{C}^0$ e di classe $\mathcal{C}^1$. Differenziale primo. Teorema del differenziale totale. Derivate parziali seconde. Matrice Hessiana. Funzioni di classe $\mathcal{C}^2$. Teorema di Schwarz per le derivate miste. Derivate direzionali seconde. Formula dell'Hessiana per le derivate direzionali seconde. Teorema di Schwarz per le derivate miste direzionali. Formula di Taylor al secondo ordine con resto secondo Peano. Derivate parziali successive. Funzioni di classe $\mathcal{C}^k$. Teorema di Schwarz per le derivate k-esime. Forme quadratiche su $ \mathbb{R}^n$. Forme quadratiche definite positive (negative), semidefinite positive (negative), indefinite. Riconoscimento di una forma quadratica su $\mathbb{R}^2$. Riconoscimento di una forma quadratica mediante i minori principali di nord-ovest. Riconoscimento di una forma quadratica mediante gli autovalori. Teorema di Fermat. Punti critici (stazionari). Punti di sella. Classificazione dei punti critici mediante la matrice Hessiana. Funzioni implicite. Teorema del Dini. Curve regolari.

Funzioni vettoriali di più variabili. Funzioni componenti. Limiti e continuità. Derivate direzionali, derivate parziali e derivabilità. Differenziabilità. Matrice jacobiana. Differenziale primo. Proprietà delle funzioni differenziabili (derivabilità, differenziabilità delle funzioni componenti, continuità). Formula della matrice jacobiana. Funzioni vettoriali di classe $\mathcal{C}^1$. Teorema del differenziale totale. Composizione di funzioni differenziabili e matrice jacobiana della funzione composta. Funzioni localmente invertibili. Teorema della funzione inversa (locale invertibilità). Matrice jacobiana della funzione inversa.

Calcolo integrale. Integrali doppi. Somme di Cauchy-Riemann su un rettangolo. Funzioni integrabili su un rettangolo. Funzioni integrabili su un insieme limitato. Insiemi misurabili. Misura di un insieme (area). Insiemi di misura nulla. Insiemi $y$-semplici, $x$-semplici, semplici, regolari. Formule di riduzione degli integrali doppi su insiemi semplici. Trasformazioni di coordinate. Trasformazioni di coordinate regolari. Significato geometrico del determinante di una applicazione lineare. Significato geometrico del determinante jacobiano di una trasformazione regolare. Cambiamento di variabili in un integrale doppio. Trasformazioni lineari di coordinate. Coordinate polari. Integrali gaussiani. Integrali tripli. Insiemi misurabili. Misura di un insieme (volume). Insiemi di misura nulla. Formule di riduzione: integrazione per fili e integrazione per strati. Cambiamento di variabili in un integrale triplo. Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche. Massa e baricentro di una regione piana e spaziale. Momenti di inerzia di una regione piana e spaziale.

Funzioni vettoriali. Funzioni componenti. Limiti, continuità e derivabilità. Derivata di una funzione vettoriale. Linearità dell'operatore di derivazione. Derivata di una funzione vettoriale composta con una funzione scalare. Derivata del prodotto scalare di due funzioni vettoriali. Funzioni vettoriali con norma costante. Derivata del prodotto vettoriale di due funzioni vettoriali. Derivata del prodotto misto di due funzioni vettoriali.

Curve parametriche. Sostegno (o supporto) di una curva. Curve piane e gobbe. Esempi: cubica gobba, elica cilindrica. Curve semplici. Curve regolari. Curve rettificabili. Lunghezza di una curva regolare di classe $\mathcal{C}^1$. Lunghezza del grafico di una funzione di classe $\mathcal{C}^1$. Parametro arco (parametro naturale). Parametrizzazioni equivalenti. Riparametrizzazione di una curva mediante il parametro arco.

Integrali di linea di prima specie. Definizione. Indipendenza degli integrali di linea dalla parametrizzazione. Densità lineare di massa. Massa di una curva. Coordinate del baricentro di una curva. Momento di inerzia.

Terna intrinseca. Curve biregolari. Terna intrinseca: versore tangente, versore normale, versore binormale. Piano osculatore, piano normale, piano rettificante. Curvatura e torsione. Formule di Frenet-Serret. Teorema di esistenza e unicità delle curve nello spazio. Caratterizzazione degli archi di retta mediante la curvatura. Caratterizzazione delle curve piane mediante il versore binormale (torsione). Velocità e accelerazione. Decomposizione del vettore accelerazione.

Campi vettoriali. Campi vettoriali. Linee di campo. Rotore. Campi irrotazionali. Divergenza. Campi a divergenza nulla. Divergenza del rotore.

Integrali di linea di seconda specie. Lavoro di un campo lungo una curva (integrali di linea di seconda specie). Dipendenza del lavoro di un campo vettoriale dall'orientazione della curva.

Campi conservativi. Campi conservativi. Irrotazionalità di un campo conservativo. Rotore del gradiente. Lavoro di un campo conservativo. Insiemi connessi e semplicemente connessi. Equivalenza dei campi irrotazionali con i campi conservativi su regioni semplicemente connesse. Campi irrotazionali non conservativi. Funzione potenziale di un campo conservativo definita mediante il lavoro. Caratterizzazione dei campi conservativi su aperti connessi (indipendenza del lavoro dai cammini).

Teorema di Gauss-Green e della divergenza nel piano. Curve di Jordan. Orientazione positiva e negativa di una curva semplice chiusa. Teorema di Gauss-Green per regioni piane y-semplici. Teorema di Gauss-Green per regioni piane x-semplici. Teorema di Gauss-Green per regioni piane semplici. Teorema di Gauss-Green per regioni piane regolari. Omotopia. Invarianza del lavoro di un campo irrotazionale lungo curve chiuse omotope. Flusso di un campo vettoriale piano. Teorema della divergenza nel piano.

Superfici. Superfici parametriche. Superfici cartesiane (grafico di una funzione). Superfici semplici. Superfici regolari. Linee coordinate. Vettori tangenti a una superficie. Piano tangente. Vettore normale a una superficie. Superfici di rotazione (sfera, toro, cono, cilindro, paraboloide ellittico). Area di una superficie. Area del grafico di una funzione. Integrali di superficie. Massa e baricentro di una superficie. Momento di inerzia di una superficie. Superfici orientabili e orientazione di una superficie. Superfici non orientabili (nastro di Möbius). Superfici semplici. Orientabilità di una superficie semplice regolare. Bordo di una superficie semplice. Orientazione del bordo indotta dall'orientazione della superficie.

Teorema di Stokes e della divergenza nello spazio. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Teorema di Stokes. Conservatività di un campo irrotazionale su un insieme semplicemente connesso. Teorema della divergenza nello spazio. Volumi come integrali di superficie.

Generalità. Motivazioni fisiche (equazione fondamentale della dinamica, legge di Hooke e moto armonico). Equazioni differenziali ordinarie. Ordine. Soluzione di un'equazione differenziale su un intervallo. Soluzione generale e soluzioni particolari. Equazioni differenziali in forma normale. Problema di Cauchy e sua interpretazione geometrica.

Equazioni differenziali a variabili separabili. Integrazione di un'equazione differenziale a variabili separabili. Soluzioni singolari (o stazionarie). Teorema di esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy. Determinazione dell'intervallo massimale su cui è definita la soluzione di un problema di Cauchy.

Equazioni lineari. Insieme delle controimmagini. Teorema di struttura dello spazio delle soluzioni di un'equazione lineare generale. Metodo di soluzione di un'equazione lineare generale. Principio di sovrapposizione. Equazioni differenziali lineari di ordine $n$. Operatori differenziali. Proprietà dello spazio delle soluzioni dell'equazione differenziale omogenea e sua dimensione.

Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Forma esplicita dell'integrale generale. Teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy.

Equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Teorema di esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy. Spazio delle soluzioni dell'equazione omogenea. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Equazioni omogenee. Equazione caratteristica. Costruzione di una base dello spazio delle soluzioni dell'equazione omogenea. Determinazione di una soluzione particolare dell'equazione completa: metodo di somiglianza (per $q(x) = Q(x) \mathrm{e}^{kx}x$, $q(x) = Q(x) \mathrm{e}^{\alpha x}\cos\beta x $, $q(x) = Q(x) \mathrm{e}^{\alpha x}\sin\beta x $); metodo della variazione delle costanti arbitrarie (metodo di Lagrange).

Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Proprietà del tubo. Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza uniforme. Proprietà delle successioni uniformemente convergenti (limitatezza, integrabilità, continuità, derivabilità).

Serie di funzioni. Somme parziali. Convergenza puntuale, uniforme e totale. Criterio di Weierstrass (M-test). Proprietà delle serie uniformemente convergenti (continuità, integrabilità, derivabilità).

Serie di potenze. Serie di potenze con centro in un punto $ x_0 $. Insieme di convergenza. Lemma di Abel. Raggio di convergenza e intervallo di convergenza. Convergenza uniforme di una serie di potenze. Funzioni definite da una serie di potenze e loro proprietà (continuità, integrabilità, derivabilità).

Serie di Taylor. Funzioni sviluppabili in serie di Taylor. Funzioni di classe $ \mathcal{C}^\infty $ non sviluppabili in serie di Taylor. Sviluppo in serie di Taylor delle funzioni elementari ($ \mathrm{e}^x $, $ \sin x $, $ \cos x $, $ \sinh x $, $ \cosh x $, $ \ln(1+x) $, $ \ln\frac{1}{1-x} $, $ \mathrm{artg}\, x $, $ (1+x)^\alpha $, $ \frac{1}{1+x} $, $ \frac{1}{1-x} $). Sviluppabilità in serie di Taylor centrata in $ x_0 $ della funzione definita da una serie di potenze centrata in $ x_0 $.

Serie di Fourier. Funzioni $2\pi$-periodiche. Prodotto scalare nello spazio $ \mathcal{C}([a,b]) $. Polinomi trigonometrici. Spazio $ P_n $ dei polinomi trigonometrici di ordine $ \leq n $. Base ortogonale e base ortonormale dello spazio $ P_n $. Proiezione ortogonale di una funzione continua (continua a tratti) sul sottospazio $ P_n $. Serie e coefficienti di Fourier di una funzione. Scarto quadratico medio. Convergenza in media quadratica della serie di Fourier. Identità di Parseval. Teorema di Riemann-Lebesgue. Funzioni regolari a tratti. Convergenza puntuale della serie di Fourier. Serie di Fourier di funzioni pari o dispari. Calcolo di alcune serie numeriche mediante le serie di Fourier. Serie di Eulero $ \sum_{n\geq1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $. Forma esponenziale della serie di Fourier. Identità di Parseval per una serie di Fourier in forma esponenziale.

Funzioni di variabile complessa. Parte reale e parte immaginaria di una funzione di variabile complessa. Funzioni elementari: polinomi, funzioni razionali, esponenziale complesso, seno e coseno complesso, seno iperbolico e coseno iperbolico complesso, logaritmo complesso, radici $n$-esime complesse, potenze complesse. Limiti. Funzioni continue.

Funzioni olomorfe. Derivabilità e derivata di una funzione complessa. Funzioni olomorfe. Proprietà delle funzioni olomorfe: somma, prodotto, quoziente, composizione. Spazio delle funzioni olomorfe. Teorema di Goursat (sulle funzioni olomorfe). Teorema di caratterizzazione delle funzioni olomorfe (equazioni di Cauchy-Riemann). Funzioni olomorfe a valori reali. Funzioni armoniche. Funzioni olomorfe e funzioni armoniche. Funzioni armoniche coniugate.

Integrali di linea. Curve nel campo complesso. Integrali di linea di funzioni complesse. Proprietà: linearità, additività, orientazione, disuguaglianza di Darboux. Primitive. Teorema fondamentale del calcolo. Teorema integrale di Cauchy. Generalizzazione del teorema integrale di Cauchy a regioni con buchi (invarianza per omotopia). L'integrale $ \int_\gamma (z-z_0)^n \mathrm{d}x $, con $ n \in \mathbb{Z} $, lungo una curva $\gamma$ chiusa che circonda $ z_0 $. Formula integrale di Cauchy. Formula integrale di Cauchy per le derivate. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra.

Serie di potenze. Serie numeriche nel campo complesso. Convergenza e convergenza assoluta. Serie di potenze. Lemma di Abel. Raggio di convergenza e disco di convergenza. Teorema di Abel (sulla convergenza di una serie di potenze). Teorema di Picard (per le serie di potenze). Olomorfia della funzione definita da una serie di potenze. Serie di Taylor. Sviluppabilità di una funzione olomorfa in serie di Taylor (analiticità di una funzione olomorfa). Serie di Taylor delle funzioni elementari ($\mathrm{e}^z$, $\sin z$, $\cos z$, $\sinh z$, $\cosh z$, $\frac{1}{1+z}$, $\frac{1}{1-z}$). Serie bilatere di Laurent. Anello di convergenza di una serie di Laurent. Sviluppabilità in serie di Laurent di una funzione olomorfa.

Residui. Singolarità. Singolarità isolate. Singolarità eliminabili, poli, singolarità essenziali. Residui. Teorema di de l'Hôpital. Residuo in un polo semplice. Residuo in un polo di ordine $m$. Rappresentazione integrale dei residui. Teorema dei residui.